Materi Persegi Ajaib

ABSTRAC

A magic square of order n is an n by n matrix with distinct nonnegative integer with the property that the sum of the numbers in each row, each column and the main and back diagonals is same. This sum is the magic sum.

A. PENDAHULUAN

Magic Square (persegi ajaib) adalah persegi dengan petak-petak

, dimana setiap petak diisi angka dari 1 sampai

sedemikian rupa sehingga jumlah angka tiap baris, kolom, dan diagonalnya sama.

Persegi ajaib merupakan susunan bilangan-bilangan asli dalam bentuk persegi yang terdiri dari n baris dan n kolom, sedemikian rupa sehingga jumlah semua bilangan-bilangan pada setiap baris, setiap kolom, dan setiap diagonal semuanya sama. Jumlah yang sama dari semua bilangan pada tiap baris, tiap kolom, dan tiap diagonal utama disebut Konstanta Ajaib dari Persegi Ajaib.

Pola persegi ajaib adalah cara penyusunan bilangan-bilangan untuk membentuk persegi ajaib berdasar urutan Barisan Bilangan Aritmatika. Secara umum persegi ajaib yang sering kita lihat hanya pada persegi yang berukuran ganjil ( 2n + 1 ) yang menggunakan metode dan aturan yang tetap.

Di sini penulis ingin memperkenalkan persegi ajaib berorder-n pada setiap bilangan asli. Diharapkan dengan mempelajari persegi ajaib pada setiap bilangan asli n kecuali n = 2, akan membuat kita termotifasi untuk menemukan keberadaan persegi ajaib yang melibatkan elemen-elemen yang lebih umum lagi. Dengan mempelajari persegi ajaib kita juga belajar untuk memeriksa kebenaran perkalian, dan penjumlahan bilangan-bilangan, serta dengan hasil yang sama baik secara horizontal, vertical maupun diagonalnya hasil yang sama ini bisa kita sebutkan keseimbangan dinamis. Pola kesimbangan dinamis yang ditemukan ternyata sangat berguna dalam kehidupan nyata jika diposisikan secara tepat dan juga bisa digunakan untuk memahami misteri alam semesta. Sedangkan di bidang ekonomi, filosofi keseimbangan dinamis juga sangat berguna untuk memprediksi pasar agar tercipta keseimbangan yang diinginkan.

B. Materi Penunjang

1. Pola bilangan persegi

Contoh pola bilangan persegi: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ….

Pola bilangan tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut:

dst….

Ternyata banyaknya titik yang membentuk barisan persegi tersebut sama dengan cara mencari luas sebuah persegi, yaitu sisi x sisi. Maka untuk bilangan kesembilan dari pola tersebut adalah 81, didapat dari 9 x 9 = 81.

Jadi, rumus untuk mencari bilangan ke-n dari pola bilangan persegi adalah

C. Materi Pokok

Persegi Ajaib

Persegi ajaib adalah persegi dengan petak-petak n x n , dimana setiap petak diisi angka dari 1 sampai n2 sedemikian rupa sehingga jumlah angka tiap baris, kolom, dan diagonalnya sama.

Persegi ajaib lebih dikenal sebagai permainan dalam matematika yang dapat meningkatkan daya nalar siswa, selain itu tujuan dari permainan persegi ajaib ini adalah untuk : (1) Meningkatkan kemampuan berfikir siswa; (2) Meningkatkan ketelitian siswa dalam menjumlahkan bilangan bulat; (3) Meningkatkan minat siswa dalam belajar matematika.

Dalam makalah ini akan ditampilkan sebuah metode untuk mengisi persegi ajaib dan metode ini sangat bermanfaat untuk bekal bagi seorang guru dalam mengajarkan operasi hitung bilangan bulat.

Pola pada persegi ajaib ini adalah cara penyusunan bilangan-bilangan untuk membentuk persegi ajaib berdasarkan urutan Barisan Bilangan Aritmatika. Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Persegi ajaib n ´ n, elemen-elemennya adalah: 1, 2, 3, …, n², membentuk barisan aritmatika. Jika suku-suku barisan aritmatika kita jumlahkan, maka deret tersebut disebut deret aritmatika. Jika 1 , 2, 3, … ,n²adalah suku-suku barisan aritmatika bilangan persegi, maka 1 + 2 + 3 + … + n²disebut deret aritmatika bilangan persegi.

Kita dapat mencari rumus untuk jumlah n suku pertama (Sn²), dari deret aritmatika bilangan persegi, yaitu :

Untuk persegi ajaib ini maka jumlah semua bilangan atau jumlah ajaibnya adalah

Dan jumlah bilangan-bilangan dalam satu garis atau sering disebut sebagai bilangan ajaib persegi ini adalah

Untuk bilangan ajaib yang suku pertamanya bukan 1, adalah dengan mencari rumus untuk jumlah n suku pertama (Sn), dari deret aritmatika, yaitu :

Mengisi persegi ajaib dengan menggunakan Metode Siam

Untuk mengisi persegi ajaib, dalam makalah ini hanya membahas untuk persegi ajaib yang berukuran ganjil, digunakan Metode Siam atau juga sering disebut dengan metode de la Loubère . Langkah-langkah metode Siamese secara general adalah sebagai berikut:

Dimulai dari angka 1 atau berapapun angka awalnya. Tempatkan di baris teratas, tepat di petak tengah.
Kita bergerak ke kanan atas. Jika posisinya sudah berada di paling atas, maka pindah ke paling bawah. Jika posisinya sudah berada di paling kanan, maka pindah ke paling kiri. Kalau sudah ada petak yang terisi, pindah ke petak di bawahnya. Ulangi langkah ini sampai semua petak terisi.

Berikut adalah contoh persegi ajaib 3x3 dengan Metode Siamese :